在机械零件的设计过程中，直接利用板料通过弯曲、拉伸等加工成型的事例不胜枚举。对于通过弯曲、拉伸等加工方法作为最终成型工序的零件，为了满足图纸尺寸要求，材料展开长度的计算就显犹为重要。
对于同样厚度的板材，由于图纸要求（保证）尺寸位置的不同，其成型零件下料展开长度计算的方法途径，也会随之发生变化。图纸要求几何形状尺寸在板厚同一侧的弯形件，其下料展开长度的计算略为简单，否则，颇费周折。
如图１所示零件弯形后要保证的几何尺寸均标注在板厚的同一侧，其弯曲后圆弧部分的圆心角，经作图可一目了然（见图２）。其零件弯曲角度β＝ａｒｃｔｇ｛Ｈ／［（Ｂ－Ａ）／２］｝，材料展开长度由直线ｆｅ、半径为Ｒ圆心角为β所对应中性圆弧及ｃ点所对应水平距离等五部分线段组成。弯曲后零件的几何形状已经确定，根据不同材料所对应弯曲部位中性层位置系数，可精确计算出展开料的长度。Ｌ＝Ａ－２×ｃｄ＋２×｛Ｈ＋［（Ｂ－Ａ）／２］０．５－２×ｄｅ＋２×［π×β×（Ｒ－ρ×ｔ）／１８０］，其中ｃｄ＝ｄｅ＝Ｒ×ｔｇ（β／２），ρ为弯曲材料中性层相对位置系数。
图３所示零件，其材料展开长度的计算就不如图１那样简单。因为该零件所要求的几何尺寸不在板厚的同一侧，无法直接求出其下料长度。虽然直接进行展开料长度的计算存在一定的困难，但尺寸Ｂ、Ｃ左端两点间的相对位置是已知的，分别设两点为Ｏ、Ｏ，假如能确定过Ｏ或Ｏ点板厚实体母线（斜线）的角度，剩余的问题将迎刃而解，对于这类问题可分别借助于数学及ａｕｔｏＣＡＤＡ工具通过不同途经予以解决。
首先介绍利用数学中的解析几何解决此问题的方法。建立如图４所示坐标系，设过Ｏ点所求板厚斜线（实体母线）方程为：ｙ＝ｋｘ①，该直线应与圆心为Ｏ点半径为板厚尺寸ｔ的圆相切，该圆方程为：［ｘ－（Ｂ－Ｃ）／２］＋（ｙ－Ｈ）＝ｔ②，设其切点为Ｊ，该切点也应该在以Ｏ为圆心，以ＯＪ为半径的圆上，所以还存在一个圆的方程：ｘ＋ｙ＝ｏｊ③（ｏｊ＝ｏｏ－ｔ）。解由①、②、③组成的方程组即可求出板厚实体母线斜率Ｋ值（计算出的Ｋ值有两个，需选中其实际值），其材料展开长度的计算也随之解决。
如果利用ａｕｔｏＣＡＤＡ工具其过程更加简单。首先过Ｏ点作半径为ｔ的圆，再过Ｏ点作一与该圆相切的直线（注意其切点的位置要与实际相符），由该线段的斜率可确定各弯曲圆弧所对应的圆心角，根据材料所对应弯曲部位中性层位置系数作出各中性层圆弧线，然后使用ｌｉｓｔ命令，点击组成展开材料长度各线段后按回车键，将显示的各值逐一累加，结果也能令人十分满意。
针对图５所示零件，因为零件高度Ｈ尺寸分别标注在成型后板厚的一侧及另一侧端点，其宽度Ｂ要求与高度标注点又不重合，利用数学中的解析几何也可以解决展开料长度的计算，但这里介绍解决该问题另外的途径。
为了解决此问题，建立图６所示坐标系，选坐标原点Ｏ与尺寸Ｂ的左端点Ｌ重合，设尺寸Ａ的左端点为Ｍ，尺寸Ｈ顶点设为Ｎ，根据图５尺寸要求可以得出这样的结论：直线ＬＮ的长度永远等于板厚ｔ，且直线ＬＮ、ＬＭ之间夹角为９０°，理论上Ｎ点在Ｘ（或Ｙ）轴上投影可变化范围在Ｏ－ｔ之间，但Ｎ、Ｍ两点在Ｙ轴投影距离之和始终等于Ｈ。若设直线ＬＮ与Ｙ轴夹角为θ，则直线ＬＭ与Ｙ，轴夹角可表示为９０°Ｃ－θ，所以该零件要保证的高度值（Ｙ轴上投影）可表示为：Ｈ＝ｔ×ｃｏｓθ＋ＬＭ×ｓｉｎθ，则ＬＭ＝（Ｈ－ｔ×ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ（θ取值范围０－９０°之间）。
从而可知，原材料展开长度的计算已转化为解含有三角函数的二元一次不定方程，无论是变量θ还是未知数ＬＭ，只要确定其一即可，且两者所对应的值必须保证ＬＭ×ｃｏｓθ＝（Ｂ－Ａ）／２。使用这种方法解决此类问题，手工做起来十分麻烦，若交给计算机处理实在是轻而易举，计算流程见图７。
如果利用ａｕｔｏＣＡＤＡ工具作图来解决该问题，不仅简单易行，经过对所作的图形进行若干次修正后，其结果也令人颇为满意，过程如下：①在图６中作出水平线段ＭＭ＝Ａ，②分别过Ｌ、Ｎ作ＭＭ垂线及平行线交于Ｐ点（分别以尺寸Ｂ、Ｈ为准），③连接Ｍ、Ｐ且在其右上方作一平行线Ｍ′Ｐ′与直线ＭＰ间距为板厚ｔ，④过Ｐ′点作垂线交过Ｎ点水平线于Ｑ，⑤连接Ｐ、Ｐ′并过Ｑ点作ＰＰ′平行线交过Ｌ点的垂线于Ｒ，则Ｑ、Ｒ点就是所求的准点，⑥连接Ｍ、Ｐ、Ｑ所构成的轮廓线也就是第一次所求的准轮廓线（见图８）。
此时会有读者提出：直线ＭＲ与ＲＱ不垂直。这是事实，虽然作图时把Ｒ、Ｑ点放在尺寸线Ｂ及Ｈ上，事实上并非如此，当 Ａ＝１１８．６、Ｂ＝２１５、Ｈ＝５６．８、板厚ｔ＝１０时，其结果∠ＭＲＱ＝８６．６°，与实际明显不相符，相对误差达到３．７８％。如果进行下列操作：①以Ｑ点为圆心以板厚为半径作圆，②过Ｍ点作该圆的切线（选择其切点的正确位置）并延长，交ＰＲ线于Ｒ点，③将过切点圆的半径线段由切点处平移至Ｒ点，其Ｑ点也随之移至Ｑ点，④过Ｑ点作垂线交过Ｎ点水平线于Ｑ点，⑤将ＲＱ线段自Ｑ点平移至Ｑ点，Ｒ点也随之移至Ｒ，⑥连接Ｍ、Ｒ、Ｑ点形成的轮廓线就是第二次要寻找的准轮廓线（前次准轮廓线的修正，见图９），此时，∠ＭＲＱ＝ ８９．８°，其相对误差仅为０．２２％，如果对此误差仍嫌过大，可进一步对已绘制的图形进行修正直到满意为止，一旦其轮廓线被确定其材料展开长度的计算也易如翻掌。
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